Tablero de números

Sean a, b, e, d, e,f y g los siete números que faltan, dispuestos como en la

figura siguiente.

Denotamos F1, F2,F3 y F4 la suma de las filas, numeradas de arriba hacia abajo; C1, C2, C3 y C4 la suma de las columnas, numeradas de izquierda a derecha; D1 la suma de la diagonal que contiene a la casilla superior izquierda y D2 la suma de la otra diagonal. Los números F1, F2, F3, F4, C1, C2, C3, C4, D1 y D2, deben ser, en algún orden, diez enteros consecutivos.

Observamos que

D1 —F1 =(10+12+3+a)—(4+5+7+a)=9,

entonces entre F1 y D2 hay la máxima diferencia posible entre dos números elegidos de diez consecutivos, y tenemos que el menor de los diez números es F1 y el mayor es D2 = F1+ 9. Los demás números son

F1+1,F1+2,…..,F1+8.

La suma de los diez números es igual al doble de la suma de todos los números del tablero, más las dos diagonales, pues cada número pertenece a una fila y a una columna, y los números de las diagonales pertenecen además a una diagonal. La suma de los números del tablero es

1+2+3+...+16= =16.17/2=136, entonces

F1+F1+1+F1+2+...F1+9=2.136+D1+D2

10F1+45=272+D1+F1+9.

Como D1 = F1 +t para algún entero t, 1 <= t <= 8,

10F1 +45 =272+F1 +t + F 1+9

8F1 =236+t.

El único valor de t, 1 <= t <= 8, tal que 236 + t es múltiplo de 8 es t =4, entonces

F = (236+4 )/8=30.

Además, D1 =F1+4=34 y D2 =F1 +9=39.De aquí,

a =F1 —(4+5+7) = 30—16= 14.

Como D1 =34, tenemos que b+g=34—(4+9)=21. La única forma de

obtener la suma 21 con dos sumandos que no sea ninguno de los números

ya ubicados(3,4,5,6,7,9,10,11,12y14)es21=8+13.Porlotanto,b

y g son, en algún orden, 8 y 13.

Dado que C1 =4+6+11+10=31 , tenemos C3 =7+3+9+f>31, de

donde

f>31—19=12.

Los posibles valores de f son 13, 14, 15 y 16. Pero 13 y 14 ya fueron

utilizados y no puede ser 15 porque tendríamos que

C3= 7+3+9+15=34=D1. En consecuencia, f= 16 y C3= 35.

Como F3 =11+ 12+ 9+d< 39, debe ser

d <39— (11 + 12 + 9) =7.

Los únicos números menores que 7 aún disponibles son 1 y 2. Si fuera

d= 2, entonces seria F3= 34 = D1 . Luego, d= 1 y F3 =33.

Para determinar en qué orden 8 y 13 corresponden a b y g, vemos que si

g = 13 entonces F =10 + e + 16 + 13> 39, lo cual es imposible. Por lo

tanto, g=8 y b=13.

Sólo falta ubicar el 2 y el 15 en c y e. Pero es claro que c es distinto de 2 (porque

6+13+3 +2=24<30),así que c=15ye=2.

La tabla queda: