Rectas

Sea E el punto de intersección con CD de la paralela a KC trazada por A.

El problema equivale a demostrar que BE es paralela a KD.

Consideramos dos casos, según el lado AB sea o no paralelo al CD.

En el primer caso, ABCD es un paralelogramo, y también ÁKCE es un paralelogramo. En consecuencia, como AB = CD y AK = CE, tenemos que AB - AK = CD - CE y entonces BK = DE. Así, BK y DE son paralelos e iguales, por lo tanto, BEDK es un paralelogramo. En particular, BE II KD,

como se quería demostrar.

En el caso en que AB no es paralelo a CD, sea F el punto de intersección de las rectas AB y CD.

Como AD BC, los triángulos ÁDF y BCF son semejantes, luego,

BF/AF=CF/DF (1)

También son semejantes los triángulos AEF y KCF, pues ÁE KC,

entonces

AF/KF=EF/CF (2)

Multiplicamos miembro a miembro (1) y (2):

Como los triángulos BEF y KDF comparten el ángulo en F, de (3) se deduce que son semejantes y, por lo tanto, BE II KD.