Lamparas on/off

Veremos que, para todo n, n 1 y n 3, existe una configuración inicial de lámparas encendidas de manera que, siguiendo las reglas del enunciado indefinidamente, siempre hay al menos una lámpara encendida. Si n = 1, es claro que, al cabo de una operación, la única lámpara estará apagada.

Si n = 2, la configuración inicial que siempre tendrá una luz encendida es la que tiene una lámpara encendida y una apagada. Estas lámparas se alternan a lo largo de las operaciones. Si n 3, veamos que no hay configuración inicial que logre el objetivo de mantener siempre una lámpara encendida. Denotamos los estados de las lámparas con 1 si está encendida y O si está apagada. Si hay una encendida:

100 —010 — 101 — 000;

es claro que el caso 001 es simétrico, y que el caso 010 está contenido en el caso detallado. Si hay dos lámparas encendidas:

110— 001

y volvemos al caso anterior. Lo mismo ocurre con 011. La posición 101 se apaga en un paso:

101 — 000.

Finalmente, si las tres lámparas están encendidas, en el siguiente paso estarán las tres apagadas. Si n es par, n > 2, para la configuración inicial

10011001...

hay siempre una lámpara encendida, pues

10011001 — 01100110 — 10011001...

se forma un ciclo de dos posiciones que se alternan. Si n es impar, n> 3 la configuración inicial

01010011001...

cumple el propósito, pues se alterna con

10001100110...

indefinidamente.