Poligonos con lados paralelos

Usaremos que dos cuerdas AB y CD de una circunferencia son paralelas si sólo si los arcos BC y AD son iguales.

Consideramos dos arcos opuestos, por ejemplo, el de longitud 1 y su opuesto, de longitud 26. Al recorrer la circunferencia en el sentido del reloj desde el arco de longitud 1 hasta su opuesto se pasa por 24 arcos de la subdivisión que tenemos, y estos 24 arcos son los respectivos opuestos de los arcos que se deben recorrer, en el sentido del reloj, para pasar del arco de longitud 26 al de longitud 1.

Si la suma de las longitudes de los 24 arcos mencionados en primer lugar es igual a la de los mencionados en segundo lugar, los lados correspondientes a los arcos de longitudes 1 y 26 son paralelos.

Si no, denotemos S a la suma de las longitudes de los 24 arcos que se recorren para ir del arco de longitud 1 al de longitud 26, en el sentido del reloj, y denotamos T a la suma de sus opuestos (que se recorren al volver). Podemos suponer que S> T, es decir, S — T> 0.

Observamos que S — T es un múltiplo de 25, porque si en S figura la longitud a, entonces a + 25 ó a — 25 (el que sea positivo y menor que 50) figura en T, y viceversa. Además, como en S — T en total figuran 24 sumandos ± 25, S— T es un múltiplo par de 25.

Realizamos la siguiente operación: girando en el sentido del reloj, sacamos de S el arco que sigue inmediatamente al de longitud 1 y agregamos a S el de longitud 26; al mismo tiempo, quitamos de T el arco que sigue inmediatamente al de longitud 26 y le agregamos a T el arco de longitud 1.

Los arcos que quitamos a S y a T son opuestos y los que agregamos también son opuestos (en este caso, el 1 y el 26). Para la nueva configuración, podemos hacer los correspondientes S y T, y tendremos que S — T es otra vez un múltiplo par de 25, pues el nuevo S se obtiene de restarle al viejo x y sumarle 26, y el nuevo T resulta de sumarle al viejo 1 y restarle x ± 25 (el que corresponda).

S—x+26-(T—(x±25)+1)= S—T±25+25

(que puede valer S — T + 50 ó S — 7).

Repetimos la operación otras 24 veces y otra vez los arcos opuestos son el de longitud 26 y el de longitud 1, pero el lugar de 8 lo ocupa T y el lugar de T lo ocupa S. Luego, en la situación final, 8— T < 0, pues en la inicial era mayor que cero.

Notemos que en cada operación, la diferencia 8— T se modifica de modo similar:

S — a + b —(7’ — (a ± 25) + (b ± 25)), que puede ser igual a S— T, S— T— 50 ó 5— T+ 50.

Hemos pasado de un múltiplo positivo de 50 a uno negativo por medio de operaciones cuyo efecto es sumar 50, restar 50 o no hacer nada, por lo tanto, en algún momento se pasó por el 0.