Colorear el Tablero

Supongamos que un tablero se ha coloreado siguiendo las indicaciones del enunciado. Vamos a contar cuántas casillas hay de cada color.

Dividimos el tablero en cuadrados de 3 x 3, con 9 casillas cada uno. Esto

es posible porque n es múltiplo de 3, y hay n 2/9 cuadrados de 3 x 3.

Consideremos un cuadrado de 3 x 3. La casilla central tiene 8 vecinas en el tablero de n x n que son precisamente las otras 8 casillas del cuadrado de 3 x 3. Si la casilla central es roja, de las 8 vecinas, 5 son azules y las otras 3, rojas. En total hay 5 azules y 4 rojas. Si la casilla central es azul, de las 8 vecinas, 4 son rojas y 4 azules. Son, nuevamente, 5 azules y 4 rojas.

Por lo tanto, en cada cuadrado de 3 x 3 hay 5 casillas azules y 4 rojas. En

2 2

el tablero hay 5 . n2 /9 Casillas azules y 4 . n2/9 casillas rojas.

Veamos que la coloración es posible. Coloreamos todas las casillas de la primera fila de azul y todas las casillas de la segunda fila de rojo. En la tercera fila alternamos dos casillas azules y una roja. La cuarta fila copia a la primera, la quinta a la segunda, la sexta a la tercera, y así siguiendo hasta completar el tablero (la última fila será como la tercera, pues el número de filas, n, es múltiplo de 3).

Una casilla roja del interior del tablero está en una fila roja o en una fila alternada de 2 azules y 1 roja. Si está en una fila roja tiene 3 vecinas azules de la fila azul inmediata superior y 2 vecinas azules de la siguiente, alternada, porque de las tres vecinas que tiene en esa fila, una es roja.

Si la casilla roja está en una fila alternada, tiene 2 vecinas azules en su fila y 3 vecinas azules en la fila siguiente. Por lo tanto, toda casilla roja tiene exactamente 5 vecinas azules.

Las casillas azules del interior del tablero se encuentran en las filas azules o en las filas alternadas de 2 casillas azules y 1 roja.

Una casilla azul de una fila azul tiene 3 vecinas rojas en la fila que sigue, y tiene una vecina roja en la fila anterior (de las tres vecinas que tiene en la fila anterior, dos son azules y una roja, pues es una fila alternada). Si la casilla azul está en una fila alternada, entonces exactamente una de sus vecinas de su fila es roja. Además, tiene 3 vecinas rojas en la fila roja anterior. Luego, toda casilla azul tiene exactamente 4 vecinas rojas.