Billetes

Sean a, b, c, d y e las cantidades de billetes de 2, 5, 10, 50 y 100 pesos, respectivamente, que tiene Pedro.

Hay a + 1 formas de poner los billetes de 2 en los bolsillos: corresponden a 0, 1,..., a billetes en el bolsillo derecho (respectivamente, a,..., 1, 0 en el izquierdo). Análogamente, hay b + 1 maneras de poner los billetes de 5, c + 1 maneras para los de 10, d + 1 para los de 50 y e + 1 para los de 100. Luego, hay (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1) maneras de poner los billetes en los bolsillos y tenemos

(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1) = 252.

Notemos que los 5 factores de la izquierda son mayores que 1, pues hay al menos un billete de cada clase.

Dado que 252 = 22 .32 .7 , la única manera de expresar a 252 como producto de 5 números mayores que 1 es 252 = 22337. Por lo tanto, a+ 1, b + 1, c+ 1, d+ 1 ye + 1 son, en algún orden, 2,2,3,3,7, de donde se deduce que los valores de a, b, c, d y e son, en algún orden, 1, 1, 2, 2 y 6.

Como Pedro tiene en total 252 pesos,

2a+5b+ 10c+50d+100e=252.

Quitamos un billete de cada clase y queda

2a’+ 5b’+ 10c’+ 50d’+ 100e’= 85,

donde a’= a— 1, b’= b— 1, c’= e— 1, d’= d— 1 y e’= e —1.

Entonces, los valores de a’, b’, c’, d’ y e’ son, en algún orden, 0, 0, 1, 1 y 5.

Es claro que e’= 0, porque 85 < 100.

Si d’ = 0, tendríamos

2a’+5b’+10c’+50d’+100e’=2a’+5b’+10c’<=10.7<85,

por lo tanto, d’ <> 0, y como d’ no puede valer 5,

d’= 1.

Entonces

2a’+5b’+ 10c’=85—50=35.

Si c’= 0, tendríamos

2a’+ 5b’+ 10c’<= 5.7 = 35,

luego, c’ <> 0, y como c’ no puede valer 5,

c’= 1.

Tenemos

2a’+5b’=35—10=25,

y hay 0 monedas de una clase y 5 de la otra. Entonces a’=0 y b’=5.

Finalmente,

a=a’+1=1,b=b’+1=6,c=c’+1=2, d=d’+1=2 y e=e’+1=1.