Apuesta Perdida

Demostraremos que para cualquier distribución de los números en el tablero habrá al menos dos casillas adyacentes que sumen 40 o más. Supongamos por el contrario que hay una distribución con todas estas sumas menores que 40. Imaginemos al tablero dividido en 3 franjas horizontales y 3 verticales de ancho 2. Cada franja está formada por 3 cuadrados de 2 x 2 (contiene 4 casillas).

Escribimos los números (en el lugar que corresponde a la distribución) uno por uno, en orden decreciente, y sea x el primer número tal que, luego de escribir x, hay una franja (horizontal o vertical) que tiene al menos un número escrito en cada uno de sus tres cuadrados. Vamos a probar que x>= 24.

En efecto, si x < 24, antes de escribir x se habrían escrito los 13 números del 24 al 36, ocupando a lo sumo 6 cuadrados de 2 x 2 (porque si ocuparan 7 o más cuadrados, habría 3 de ellos en una misma franja horizontal o vertical). En alguno de estos 6 cuadrados hay por lo menos

3 números mayores o iguales que 24 (pues13/6> 2), y en ese cuadrado hay

dos casillas vecinas que suman 24 + 25 =49 o más. Contradicción.

Por otra parte, antes de escribir x, cada franja horizontal o vertical tiene a lo sumo 4 números escritos, y al agregar x puede haber franjas con 5 números, pero no más. En caso contrario, antes de escribir x tendríamos una franja con 5 números o más, y estos 5 números sólo ocuparían dos cuadrados de 2 x 2 de la franja (porque al menos un cuadrado debe estar vacío hasta la llegada de x). Si 5 números están en dos cuadrados, hay 3 de estos números en un mismo cuadrado y, por lo tanto, habrá casillas vecinas ocupadas. En tal caso, tendríamos vecinos que suman 49 o más. Nuevamente, una contradicción.

Luego de escribir x, en cada franja horizontal hay 5 números o menos; además, como x >=24 y todas las sumas son menores que 40, cada número ya escrito tiene sus casillas vecinas vacías. En particular, está vacía la casilla de su misma columna y que está en la franja. También, en cada franja horizontal hay al menos una columna, de 2 casillas, que está vacía (pues hay al menos 7 casillas vacías distribuidas en 6 columnas de 2 casillas cada una). Más aún, hay una columna vacía que tiene exactamente una de sus dos casillas vecina a una casilla ocupada (por supuesto, esto ocurre sólo si en la franja hay al menos una casilla ya ocupada).

Entonces, después de escribir x, si la cantidad de números escritos en el tablero es n, estos números tienen, por lo menos, n + 3 casillas vecinas distintas que están vacías.

En consecuencia, una vez que se completó el tablero, los n = 37 — x números, desde x hasta 36, son vecinos de al menos otros 37 — x + 3 = 40 — x números. Por lo tanto, hay un número entre x y 36 que es vecino del 40 — x, y tenemos dos vecinos que suman por lo menos 40. Absurdo.

Con esto queda demostrado que para cualquier distribución hay al menos dos vecinos que suman 40 o más.

En el siguiente ejemplo vemos una distribución de los números tal que el valor máximo de la suma de dos casillas vecinas es 40.